Проблема Варинга

Проблема Варинга
Математическая логика
курсовая
20
2019
RUB 1500
1500р.

Нажмите, чтобы зарегистрироваться. Работа будет добавлена в личный кабинет.

Введение…………………………………………………………………………...……………..2
1 Теорема Варинга и ее доказательство ……………………………………………………… 3
1.1 Теорема 1…………………………………………….…………………………………….5
1.2 Теорема 2………………………….…………………………………………...………….6
1.3 Теорема 3………………………………….……………………………………………….7
1.4 Теорема 3/…………………………….……………………………………………………9
2 Обзор проблемы Варинга учеными С.Гриценко и Н.Мотькиной………………...…..…….9
2.1 Основные теоремы. ………………………..…………………………………………….10
2.2 Вспомогательные утверждения………………………………………………...………14
Заключение………………………..…………………………………………………………….19
Список литературы……………………………………………………………………………..20

ВВЕДЕНИЕ

Проблема Варинга - одна из актуальных и важнейших задач Теории чисел, без которой математическая картина мира была бы очень неструктурированной.
Цель работы – изучить проблему Варинга в том объеме, в котором она существует в современной математике. Поднятая более двухсот лет назад, она была доказана лишь спустя столетие, и с тех пор несколько раз дополнялась различными учеными из разных стран, в том числе российскими математиками.
Объектами исследований данной курсовой работы будут являться собственно теорема Варинга, а также ее вариации и различные дополнения, развитые другими учеными, среди них есть Задача Гольдбаха, Хуа Ло-Кена, Лагранжа, утверждения Лемма (Дирихле, Лиувилля).
Главной задачей в курсовой работе будет подробное рассмотрение и изучение проблемы Варинга, ее производных, приведения расчетных формул и указания между ними логических связей.
Работа будет состоять из двух частей, в первой из них приведена сама теорема Варинга и ее доказательства, состоящие из нескольких теорем.
ТЕОРЕМА ВАРИНГА И ЕЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО

Вначале рассмотрим непосредственно саму теорему Варинга, ее определение, историю возникновения, ее доказательство и математические формулы, так или иначе связанные с начальным, классическим уравнением теоремы Варинга, ниже обозначенной цифрой (1).
Проблема Варинга (или теорема Варинга) – это одна из задач теории чисел, которая долгое время оставалась недоказанной, в качестве теоретической гипотезы.
Теорема Варинга гласит, что для каждого целого числа n, большего 1 (n>1), есть такое k=k(n)), что любое натуральное (N) возможно записать в виде
x_1^n+x_2^n+⋯+x_k^n=N (1)
с целыми неотрицательными числами.
Кратко рассмотрим историю изменения теоремы Варинга до современного вида:
Проблема Варинга впервые была создана английским ученым Эдуардом Варингом в 1770 году. Почти сто пятьдесят лет она была недоказанной, до тех пор, пока этой проблемой не занялся другой ученый из Германии, Давид Гильберт. В 1909 году Гильберту удалось найти решение этой проблемы, которая дополнила теорию чисел.
Общая проблема, возникшая в связи с этими эмпирическими соображениями, заключается в том, чтобы доказать, что для каждого натурального числа n существует такое s, что любое целое положительное N представимо в виде суммы s слагаемых, являющихся точными n-ми степенями целых неотрицательных чисел.
Отдельный вклад в теорему Варинга внесли российские ученые из Москвы и Белгорода, С. А. Гриценко и Н. Н. Мотькина, что будет подробнее рассмотрено во 2 главе курсовой работы. Эти люди изучали проблему Варинга с натуральными числами специального вида. Их работа является продолжением исследований авторов классических аддитивных проблем с переменными, принадлежащими некоторому специальному множеству. Ранее они изучали проблемы Гольдбаха, Хуа Ло-Кена и Лагранжа. С целью решить эти проблемы с числами специального вида они получили асимптотические формулы. Задачи, придуманные Гольдбахом и Хуа Ло-Кеном, относятся к задачам с простыми числами. Они являются классическими проблемами в теории чисел о числе решений уравнения p_1^n+p_2^n+…p_k^n=N в простых числах p_1,p_2,…,p_k, где k≥2 и n≥1 – натуральные числа.
При k=3, n=1 – проблема относится к задаче Гольдбаха, тогда как k=5, n=2 к проблеме Хуа Ло-Кена.
Российские математики изучали эти задачи при том условии, что на простые числа pi, i=1,2,…, k, наложены дополнительные ограничения вида a<{np_i^n}
σk(N, a, b)= ∑_(|m|<∞)▒e^(2xim(ηN-0,5k(a+b)) (〖sin〗^k пm(b-a))/(п^k m^k ) (2)

Поведение этих рядов и его изучением относится к совершенно другой проблеме, которой тоже занимались эти математики. К примеру, задача Лагранжа – задача о представлении натурального числа в виде суммы четырех квадратов целых чисел:
l_1^2+l_2^2+l_3^2+l_4^2=N.
Ими изучался вариант задачи Лагранжа с целыми числами l_i, i=1,2,3,4, удовлетворяющими условию a<{ηl_i } Для создания асимптотической формулы в задаче Лагранжа, ученые придерживались схемы Клоостермана, потому что в этой задаче в главном члене не возникает ряда вида σ_k(N,a,b). Проблема Варинга же является задачей о представлении любого натурального N суммой
x_1^n+x_2^n+⋯+x_k^n=N,
где x_1,x_2,…,x_k – натуральные числа. В их работе решается вариант проблемы Варинга с натуральными числами x_i, i=1,2,…k, такими, что a≤{ηx_i^n } Основным результатом работы является получение асимптотической формулы для числа решений J(N) проблемы Варинга с числами специального вида:
J(N)=I(N)σk(N,a,b)+O(N^(k/n)-1- c/(n^3 logn) ), (3)

где I(N) – число решений классической проблемы Варинга в произвольных натуральных чисел x1, x2,…,xk, c=c(η)>0, n≥3,
k ≥ ko={█( 2^n+1 , если 3≤n≤10 @2|[(2logn+log log n+5)],если n>10.)┤ (4)

Мы рассмотрели проблему Варинга с начальной точки зрения и предоставили о ней общее представление и ее эволюцию. Далее приведем основные доказательства теоремы Варинга.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. «Теория чисел» Ю.В. Нестеренко, 2008 г.
2. ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 15 Выпуск 3, 2014 г.